kombinasi

suatu permutasi tanpa memperhatikan urutan unsur yang terpilih disebut kombinasi. lambang dari kombinasi adalah C. kombinasi p unsur dari n unsur didefinisikan sebagai 

C(n,p)= n C p=P(n,p)/p!=n!/{(n-p)!.p!}

contoh soal: 

1. berapa banyak segitiga yang berbeda yang dapat dibentuk dengan menghubungkan ke delapan titik sudut segi delapan ABCDEFGH?
2. berapa banyak cara mengambil 4 kaos dari 10 kaos yang tersimpan di dalam almari?
3. seorang guru matematikasedang menyiapkan soal UTS, dari 20 nomor soal peluang, 15 soal lingkaran, akan dipilih 16 soal dalam ulangan nanti. tentukan: a) ada berapa cara memilih kesepuluh soal tersebut? b) jika proporsi bahan untuk soal peluang dan lingkaran sama banyak, ada berapa cara memilih ke-16 soal tersebut?
4. suatu kelompok belajar terdiri dari 10 orang yang akan dibagi ke dalam 2 kelompok, yang masing-masing terdiri dari 4 orang dan 6 orang. dari setiap kelompok akan dipilih 2 orang unutk menjadi ketua dan sekertaris, tentukan banyak cara dalam membentuk kelompok tersebu tbeserta ketua dan sekertarisnya?

jawab:

1. suatu segitiga mempunyai 3 titik sudut, sehingga banyaknya segitiga yang dapat dibentuk adalah C(8,3)
2. banyak cara mengambil kaos dari dalam almari adalah C(10,4)
3. a) jumlah soal seluruhnya ada 35 soal. dari ke-35 soal tersebut akan dipilih 16 soal yang akan digunakan untuk soal l UTS. banyak cara memilih soal tersebut adalah C(35,16).                                 b) proporsi bahan soal sama, sehingga untuk soal peluang terpilih 8 soal dari 20, dan lingkaran terpilih 8 soal dari 15 soal. banyak cara memilih 8 soal peluang adalah C(20,8). banyak cara memilih soal lingkaran adalah C(15,8). sehingga banyak cara memilih soalnya adalah C(20,8).C(15,8)
4. cara membagi 10 orang tersebut kedalam 2 kelompok adalah C(10,6).C(4,4). misal kelompok pertama yang terdiri dari 6 orang, banyak cara memilih ketua dan sekertaris adalah P(6,2), dan kelompok kedua yang terdiri dari 4 orang, banyak car memilih ketua dan sekertarisnya adalah P(4,2). sehingga banyak cara pembentukan kelompok tersebut beserta ketua da sekertarisnya adalaa C(10,6).C(4,4).P(6,2).P(4,2)

permutasi

Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek berbeda dalam urutan tertentu, tanpa ada objek yang di ulang. lambang permutasi adalah P. misal A adalah himpunan dengan n anggota. dari himpunan A tersebut akan diambil p objek, maka banyak cara susunan berbeda p objek dari himpunan A adalah
P(n,p)= n!/(n-p)!

permutasi dengan unsur-unsur yang sama:

jika terdapat n objek yang terdiri dari objek k1 objek jenis pertama, k2 objek jenis kedua, sampai ki objek jenis ke-i. maka banyaknya permutasi yang berbeda adalah
P=n!/((k1)! .(k2)! . ... (ki) !)

permutasi siklis (permutasi melingkar) 
banyaknya permutasi siklis dari n objek adalah (n-1)!

contoh soal:

1. berapa macam cara pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua, sekertaris dan bendahara, jika terdapat 10 calon? 
2. dalam berapa cara p orang dapat duduk berdampingan dalam posisi tidak melingkar sehingga 2 orang istimewa selalu berdampingan?
3. terdapat 4 salinan buku dari 5 buku yang berbeda. berapa banyak cara berbeda, buku-buku tersebut dapat diatur dalam sebuah rak buku?
4. 6 orang akan duduk dengan posisi melingkar. jika terdapat 2 orang yang selalu duduk berdampingan, ada berapa cara berbedakahkah mereka duduk?

 jawab: 

1. banyak cara berbeda pemilihan pengurus kelas tersebut adalah P(10,3)
2. karena terdapat 2 orang yang selalu duduk berdampingan, maka kita dapat menganggap banyak orang yang mau kita atur duduknya sebanyak p-1 orang. posisi dari 2 orang yang berdampingan bisa bertukar sebanyak 2 cara. sehingga banyak cara menyusunnya adalah  (p-1)!.2
3. setiap buku punya 4 salinan, sehingga banyakya buku adalah 4 x 5 + 5=25 buku. jika setiap salinan dan buku asli dianggap sama (identik) maka dari 25 buku ini dapat disusun dalam suatu rak dengan   25!/(5!.5!.5!.5!.5!) cara
4. terdapat 2 orang yang elalu duduk berdampingan, maka kita dapat menganggap banyak orang yang mau kita atur duduknya sebanyak 5 orang. dari 2 orang yang berdampingann, duduknya dapat bertukar sebanyak 2 cara. sehingga banyak cara berbeda dalam penyusunannya adalah (5-1)!.2

 

faktorial

definisi:
untuk n bilangan bulat positif, maka n!= n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 3 x 2 x 1
didefinisikan 0!=1
n! dibaca n faktorial

contoh:
 3!=3x2x1=6
5!=5x4x3x2x1=120

kaidah pencacahan

suatu himpuna P memuat n anggota dan himpunan Q memuat m anggota, maka P x Q adalah suatu himpuna yang memuat semua pasangan terurut (a, b) dimana a anggota P dan b anggota Q. Misalnya P={1, 2, 3}, Q={5, 6}, maka P x Q={(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6)}. n(P)=3, n(Q)=2, n(P x Q)=2.3=6

hal ini mengilustrasikan jika kejadian pertama dilakukan dengan n cara berbeda kemudian dilanjutkan dengan kejadian keduayang dilakukan dengan m cara berbeda, maka kedua kejadian tersebut dapat dilakukan secara bersama dengan n x m cara. 


contoh soal: 

1. terdapat 5 baju batik dan 3 celana. berapa cara memilih 1 baju batik dan 1 celana?
2. untuk mengisi jabatan ketua, sekertaris dan bendahara kelas, tersedia 5 calon ketua, 3 calon sekertaris, dan 4 calon bendahara. dalam berapa cara ketiga posisi tersebut dapat diisi?

jawab:

1. banyak caranya ada 5 x 3=15
2. banyak caranya ada 5 x 3 x 4=60